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“老边防”有了新梦想

考研数学线性代数必背公式总结

浩然 2018-10-19 评分 0 浏览量 0 0 0 0 暂无简介 简介 举报
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简介:本文档为《考研数学线性代数必背公式总结doc》,可适用于高等教育领域,主题内容包含、行列式行列式共有个元素展开后有项可分解为行列式代数余子式的性质:、和的大小无关、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为、某行(列)的元符等。

、行列式行列式共有个元素展开后有项可分解为行列式代数余子式的性质:、和的大小无关、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为代数余子式和余子式的关系:设行列式:将上、下翻转或左右翻转所得行列式为则将顺时针或逆时针旋转所得行列式为则将主对角线翻转后(转置)所得行列式为则将主副角线翻转后所得行列式为则行列式的重要公式:、主对角行列式:主对角元素的乘积、副对角行列式:副对角元素的乘积、上、下三角行列式():主对角元素的乘积、和:副对角元素的乘积、拉普拉斯展开式:、、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积、特征值对于阶行列式恒有:其中为阶主子式证明的方法:、、反证法、构造齐次方程组证明其有非零解、利用秩证明、证明是其特征值、矩阵是阶可逆矩阵:EMBEDEquationDSMT(是非奇异矩阵)EMBEDEquationDSMT(是满秩矩阵)EMBEDEquationDSMT的行(列)向量组线性无关齐次方程组有非零解EMBEDEquationDSMT总有唯一解EMBEDEquationDSMT与等价EMBEDEquationDSMT可表示成若干个初等矩阵的乘积EMBEDEquationDSMT的特征值全不为EMBEDEquationDSMT是正定矩阵EMBEDEquationDSMT的行(列)向量组是的一组基EMBEDEquationDSMT是中某两组基的过渡矩阵对于阶矩阵:无条件恒成立矩阵是表格推导符号为波浪号或箭头行列式是数值可求代数和关于分块矩阵的重要结论其中均、可逆:若则:Ⅰ、Ⅱ、、(主对角分块)、(副对角分块)、(拉普拉斯)、(拉普拉斯)、矩阵的初等变换与线性方程组一个矩阵总可经过初等变换化为标准形其标准形是唯一确定的:等价类:所有与等价的矩阵组成的一个集合称为一个等价类标准形为其形状最简单的矩阵对于同型矩阵、若行最简形矩阵:、只能通过初等行变换获得、每行首个非元素必须为、每行首个非元素所在列的其他元素必须为初等行变换的应用:(初等列变换类似或转置后采用初等行变换)、若则可逆且、对矩阵做初等行变化当变为时就变成即:、求解线形方程组:对于个未知数个方程如果则可逆且初等矩阵和对角矩阵的概念:、初等矩阵是行变换还是列变换由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵、左乘矩阵乘的各行元素右乘乘的各列元素、对调两行或两列符号且例如:、倍乘某行或某列符号且例如:、倍加某行或某列符号,且如:矩阵秩的基本性质:、、、若则、若、可逆则(可逆矩阵不影响矩阵的秩)、(※)、(※)、(※)、如果是矩阵是矩阵且则:(※)Ⅰ、的列向量全部是齐次方程组解(转置运算后的结论)Ⅱ、、若、均为阶方阵则三种特殊矩阵的方幂:、秩为的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)行矩阵(向量)的形式再采用结合律、型如的矩阵:利用二项展开式二项展开式:注:Ⅰ、展开后有项Ⅱ、Ⅲ、组合的性质:、利用特征值和相似对角化:伴随矩阵:、伴随矩阵的秩:、伴随矩阵的特征值:、、关于矩阵秩的描述:、中有阶子式不为阶子式全部为(两句话)、中有阶子式全部为、中有阶子式不为线性方程组:其中为矩阵则:、与方程的个数相同即方程组有个方程、与方程组得未知数个数相同方程组为元方程线性方程组的求解:、对增广矩阵进行初等行变换(只能使用初等行变换)、齐次解为对应齐次方程组的解、特解:自由变量赋初值后求得由个未知数个方程的方程组构成元线性方程:、、(向量方程为矩阵个方程个未知数)、(全部按列分块其中)、(线性表出)、有解的充要条件:(为未知数的个数或维数)、向量组的线性相关性个维列向量所组成的向量组:构成矩阵个维行向量所组成的向量组:构成矩阵含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应、向量组的线性相关、无关有、无非零解(齐次线性方程组)、向量的线性表出是否有解(线性方程组)、向量组的相互线性表示是否有解(矩阵方程)矩阵与行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组和同解(例)(例)维向量线性相关的几何意义:、线性相关EMBEDEquationDSMT、线性相关EMBEDEquationDSMT坐标成比例或共线(平行)、线性相关共面线性相关与无关的两套定理:若线性相关则必线性相关若线性无关则必线性无关(向量的个数加加减减二者为对偶)若维向量组的每个向量上添上个分量构成维向量组:若线性无关则也线性无关反之若线性相关则也线性相关(向量组的维数加加减减)简言之:无关组延长后仍无关反之不确定向量组(个数为)能由向量组(个数为)线性表示且线性无关则(二版定理)向量组能由向量组线性表示则(定理)向量组能由向量组线性表示有解(定理)向量组能由向量组等价(定理推论)方阵可逆存在有限个初等矩阵使、矩阵行等价:(左乘可逆)与同解、矩阵列等价:(右乘可逆)、矩阵等价:(、可逆)对于矩阵与:、若与行等价则与的行秩相等、若与行等价则与同解且与的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩、矩阵的行秩等于列秩若则:、的列向量组能由的列向量组线性表示为系数矩阵、的行向量组能由的行向量组线性表示为系数矩阵(转置)齐次方程组的解一定是的解考试中可以直接作为定理使用而无需证明、只有零解只有零解、有非零解一定存在非零解设向量组可由向量组线性表示为:(题结论)()其中为且线性无关则组线性无关(与的列向量组具有相同线性相关性)(必要性:充分性:反证法)注:当时为方阵可当作定理使用、对矩阵存在、的列向量线性无关()、对矩阵存在、的行向量线性无关线性相关存在一组不全为的数使得成立(定义)EMBEDEquationDSMT有非零解即有非零解EMBEDEquationDSMT系数矩阵的秩小于未知数的个数设的矩阵的秩为则元齐次线性方程组的解集的秩为:若为的一个解为的一个基础解系则线性无关(题结论)、相似矩阵和二次型正交矩阵或(定义)性质:、的列向量都是单位向量且两两正交即、若为正交矩阵则也为正交阵且、若、正交阵则也是正交阵注意:求解正交阵千万不要忘记施密特正交化和单位化施密特正交化:对于普通方阵不同特征值对应的特征向量线性无关对于实对称阵不同特征值对应的特征向量正交、与等价EMBEDEquationDSMT经过初等变换得到、可逆、同型、与合同其中可逆与有相同的正、负惯性指数、与相似相似一定合同、合同未必相似若为正交矩阵则EMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMT(合同、相似的约束条件不同相似的更严格)为对称阵则为二次型矩阵元二次型为正定:的正惯性指数为与合同即存在可逆矩阵使的所有特征值均为正数的各阶顺序主子式均大于(必要条件)unknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown

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